Drunkard's Walk Puzzles

שתי חידות הליכת שיכור

1.
שיכור מהלך על ציר ה- $x$. הוא מתחיל מ $X_{0} = 0$. בכל צעד הוא מתקדם  צעד ימינה ( כלומר  $X_{n+1}=X_{n}+1$ ) בהסתברות של חצי או צעד שמאלה  ($X_{n+1}=X_{n}-1$)  בהסתברות דומה.

מהם הסיכויים שהוא יגיע לנקודה  $2N$  לפני $-3N$ ? ( כאשר $N$  הוא פרמטר) .

2.
שיכור מהלך על ציר ה- $x$. הוא מתחיל מ $X_{0} = 0$. בכל צעד הוא מתקדם  צעד ימינה בהסתברות של
 $p=\cfrac{2}{3}$   או צעד שמאלה בהסתברות  $\cfrac{1}{3}$ .

מהם הסיכויים שהוא יגיע לנקודה  $N$  לפני $-N$ ?

אם יש לכן תשובה פרסמנה אותה בתגובות. אני אפרסם פתרון לשתי החידות בהמשך.

1. A drunkard is walking on the $x$-axis starting on $X_{0} = 0$. Every step he walks one step to the right (that is - $X_{n+1}=X_{n}+1$) with probability $p=\cfrac{1}{2}$ or one step to the left ($X_{n+1}=X_{n}-1$) with the same probability.

What is the probability that he would reach $2N$ before reaching $-3N$? (where $N$ is an integer a parameter)

2. A drunkard is walking on the $x$-axis starting on $X_{0} = 0$. Every step he walks one step to the right with probability $p=\cfrac{2}{3}$ or one step to the left with probability $\cfrac{1}{3}$

What is the probability that he would reach $N$ before reaching $-N$?

If you have a solution post it on the comments. I will post a solution in the future.